Turunan/Diferensial/Derrivative

Diferensial

Note : Sebelum baca ini kalo bisa udah paham Kalkulus - Naikan/Integrasi/Integral. Atau dibalik juga gapapa, abis baca ini terus udah ngerti, kalo bisa langsung baca artikel tadi karena mereka sepasang, sehidup semati.


Kalo udah denger kata "turunan" atau "integral" biasanya anak smansa langsung mules wkwk, "ah males amat soalnya banyak cacing-_-"
Sebenernya turunan ataupun integral itu gampang bangeeeeet, serius dah, malah sebenernya mereka berdua itu cuma limit fungsi :) yuk kita bahas apa itu sebetulnya turunan.

Siapa penemu kalkulus? Kalkulus ditemukan oleh dua orang di tempat yang berbeda, dan selisih waktunya relatif singkat. Mereka adalah Newton dan Leibniz. Ditemukan duluan sama Newton, baru abis itu si Leibniz. Tapi para ilmuwan akhirnya sepakat kalo mereka ga saling mencontek, soalnya Newton nemuin diferensial dulu abis itu inregral, sedangkan Leibniz nemuin integral dulu abis itu diferensial.

Sir Isaac Newton

Sesuai namanya, "diferensial" dari kata diference atau "perbedaan", jadi ya turunan itu sebenernya buat mencari perbedaan/perubahan dari sesuatu.
Pertama, mari flashback ke jaman SMP, kelas 8 dulu, waktu kita belajar persamaan garis lurus. Dalam sebuah garis lurus di koordinat kartesius, kita bisa mencari derajat kemiringan dari garis tersebut, atau biasa kita kenal dengan istilah "gradien" dari garis tsb.

grafik 1.1

Grafik diatas > f(x) = 1/2x

Liat deh grafik garis lurusnya, inget kan cara nyari gradien gimana? Tinggal Δy/Δx aja! 

 


m = gradien

Karena grafik diatas garis lurus, artinya di titik manapun, gradiennya pasti sama. Misal ambil titik (0,0) sama titik (4,2), maka gradiennya 2-0/4-0 = 2/4 = 1/2. 

Coba kita ambil titik lain, misal (4,2) sama (-4,-2) gradiennya -2-2/-4-4 = -4/-8 = 1/2. 

Ambil lagi misal titik x=1, berarti Ynya tinggla masukin aja 1 ke fungsi, f(1) = 1/2.1 = 1/2, berarti titiknya (1,1/2) dan buat titik satu lagi, kita ambil x=2, masukin 2 ke fungsi, f(2) = 1/2.2 = 1, dapet nilai Ynya 1, titiknya berarti (2,1), gradiennya 1-1/2 / 2-1 = 1/2 / 1 = 1/2, sama kan gradiennya :) 

jadi bisa kita simpulkan, derajat kemiringan(gradien) dari garis diatas adalah 1/2, dan gradien ini ga akan pernah berubah karena grafik fungsi diatas adalah garis lurus.

Sekarang gimana kalo grafiknya membentuk lengkungan? Misalnya grafik parabola?

grafik 1.2

atau ini?













 grafik 1.3



Buat nyari gradien sebuah grafik fungsi, kita butuh minimal 2 titik, seperti contoh pertama tadi. Nah masalahnya, kalo grafiknya garis lurus kek yg pertama, gradiennya bakal sama terus, tapi kalo grafiknya lengkung gitu, gradiennya pasti berubah2 terus, tergantung dimana kita ambil 2 titiknya.

grafik 1.4

Misalnya contoh grafik diatas. Garis biru itu ceritanya garis grafiknya, garis ijo ceritanya cuma garis bantu(kita sebut garis secant). Buat nyari gradien garis biru itu kita bisa ambil 2 titik dari 2 titik potong antara garis biru sama garis secant, terus dari dua titik potong itu kita cari gradiennya dgn cara kayak tadi, Δy/Δx, atau (f(x+h) - f(x))/((x+h)-(x)) = (f(x+h) - f(x))/h
Tapi gradien ini ga akurat, kenapa? Karena kalo kita ambil 2 titik lain, misalnya kita geser garis secant tadi ke kiri, otomatis nilai Δy/Δx nya berubah, karena garisnya lengkung, ga lurus. Jadi yg bisa kita itung cuma gradien rata-rata, bukan gradien sesungguhnya yang tepat di titik itu.

Oke, sekarang gimana biar kita bisa nyari gradiennya seakurat mungkin? Bisa kita liat kalo jarak antar 2 titik yg kita ambil makin deket, maka gradien yg kita dapet juga makin akurat. Kita tarik teruuuusss 2 titik tadi biar makin deket, sampe 2 titik itu berhimpitan kek gini nih :
grafik 1.5
Liat? Titiknya jadi cuma 1 kan? sebenernya titiknya tetep ada 2, tapi jaraknya dekeeeeetttt bgt sampe limit mendekati 0, jadi gradien yg kita dapet bakal akurat. 

Kita misalkan jarak antar 2 titik itu h, berarti nilai h ini harus limit mendekati 0. Terus misalkan kita ambil 1 titik (x,0) (lihat gambar grafik 1.4), terus buat titik kedua, kita ambil sebuah titik yg berjarak h dari titik x tadi, dimana inget h nya harus limit mendekati 0 supaya gradiennya akurat, berarti koordinat titik kedua ini (x+h,0). Buat sumbu Y nya, tinggal masukin nilai sumbu x ke fungsinya, kayak contoh pertama tadi, berarti nilai Y waktu x nya x > f(x), koordinat titik pertama (x , f(x)), terus nilai Y pas titik x = x+h > f(x+h), koordinat titik kedua (x+h , f(x+h)). Buat nyari gradiennya, Δy/Δx, jadi :
f(x+h) - f(x)          f(x+h) - f(x)
------------ =      ------------
(x+h) - (x)                   h

dan ingat! nilai h harus limit mendekati 0 supaya gradien akurat :)
jadi bisa kita tulis : 
1.7 rumus umum diferensial
f ' (x) > gradien dari fungsi x seakurat mungkin (turunan fungsi x)

Ya! Itu dia turunan wkwk, jadi sebenernya turunan itu ya sama aja kayak nyari gradien dari grafik fungsi kayak pas kls 8 SMP, bedanya turunan itu mencari gradien seakurat dan setepat mungkin. Kalo kurvanya garis lurus mau gradien di titik manapun pasti sama jadi selalu akurat, tapi kalo grafiknya lengkung/parabola gitu, kalo kita itung gradien pake cara biasa bakal dapet gradien rata-rata dan ga akurat, cuma perkiraan. Jadi kita pake turunan supaya dapet gradien yg tetep akurat sekalipun grafiknya lengkung :)


Kalo cara bimbel kan gini ya :
misalkan f(x) =  AX^B
d(f(x))/dx (maksudnya, f(x) diturunkan terhadap x ) = BAX^B-1


Contoh : f(x) = 2x^2
maka d(f(x))/dx = d(2x^2)/dx = 2 . 2 . x ^2-1 = 4x^1 = 4x

Yuk kita coba pake rumus umum! ( / disini artinya "per" atau "bagi" ya)

f ' (x) dengan lim h-> 0 = f(x+h) - f(x) / h
                                   = 2(x+h)^2 - 2x^2 / h
                                   = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 2x^2 / h
                                   = 4xh + 2h^2 / h
                                   = (4x + 2h)h / h  --> h nya coret
                                   = 4x + 2h  --> ingat pelajaran mtk pa Wirdan kelas x! Untuk menyelesaikan persamaan limit, kalo persamaannya udah paling sederhana, masukin aja nilai limitnya kedalem persamaan itu, disini limitnya adalah limit h mendekati 0, jadi masukin nilai 0 ke h :
                                   = 4x + 2(0) = 4x

Tuh sama kan sama rumus cepet bimbel :)

Integral dan diferensial saling berkebalikan. Bisa dibilang integral adalah fungsi invers dari diferensial, dan diferensial adalah fungsi invers dari integral. Yg artinya, apabila sebuah fungsi f(x) diintegralkan terhadap x, maka hasilnya kalo didiferensialkan terhadap x harus balik lagi jadi f(x). Sebaliknya juga gitu, fungsi f(x) kalo didiferensialkan terhadap x, hasilnya diintegralkan terhadap x, harus balik jadi f(x).

Penulisan dan arti simbol dalam diferensial :
dA = sepotong bagian dari A yg sangat kecil
f ' (x) = turunan dari fungsi f(x) terhadap x
dA/dB = turunan dari A terhadap B, atau A yg sangat kecil dibagi B yg sangat kecil

Misalkan : turunkan fungsi f(x) = 3x^3 terhadap x!

Jawab :
d(f(x))/dx = d(3x^3)/dx = 3.3x^3-1 = 9x^2

Pasti ada yg nanya, "terus Do kenapa persamaan jarak/posisi kalo diturunin terhadap t dapet persamaan kecepatan? Kenapa juga kalo persamaan kecepatan diturunin terhadap t dapet persamaan percepatan? Itu karena, inget definisi turunan itu ya gradien, atau "derajat/tingkat perubahan"
Nah, derajat perubahan jarak terhadap waktu itu apa? Jarak/waktu itu apa? Kecepatan kan? wkwk
Sekarang kalo derajat perubahan kecepatan terhadap waktu itu apa? Kecepatan/waktu? Percepatan kan?

Semoga membantu, kalo kurang jelas, mau tanya, atau mau revisi, jgn sungkan untuk komen :

Buat yang udah baca dan paham isi artikel ini, tolong ilmunya bagi ke temen2 yg lain ya :)
#fisikasukber37