Naikan/Integrasi/Integral

Integral

Note : Sebelum baca ini kalo bisa udah paham Kalkulus - Turunan/Diferensial/Derrivative. Atau dibalik juga gapapa, abis baca ini terus udah ngerti, kalo bisa langsung baca artikel tadi karena mereka sepasang, sehidup semati.

---> simbol integral

Jangan kabur :) serius integral itu gampang :) sama kayak temennya, diferensial, integral juga sebenernya cuma salah satu terapan dari limit~

Newton dan Leibniz juga dianggap sebagai penemu integral, intinya mereka berdua penemu kalkulus wkwk, kalkulus itu ada 2 mata utamanya, yaitu diferensial & integral. Bahasan lebih lengkap soal penemu kalkulus ini ada di artikel Kalkulus - Turunan/Diferensial/Derrivative.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Kalo di diferensial kita mencari gradien/derajat kemiringan, di integral kita sebenernya cuma mencari luas dari bentuk bentuk bangun :)
Hah?! Cuma cari luas? Kenapa ga pake geometri biasa aja? Kan lebih gampang, ngapain pake integral segala?

Karena, geometri hanya bisa menghitung benda-benda yg bentuknya pas, yg pasti-pasti aja wkwk, coba liat gambar ini :
gambar 1.1


Hayo geometri bisa itung luas itu? Bisa sebenernya, tapi ga akan akurat. Nah integral itu teknik yg berusaha menghitung luas kurva kurva macam itu seakurat mungkin :)

Sebenernya kita udah belajar integral dari jaman SD kelas 2, inget ga waktu ibu guru minta kita bawa buku berpetak, terus digambar daun, abis itu kita harus itung luasnya berapa satuan, inget ga?
gambar 1.2


Tutuh kek gitu, inget kan? Masih inget gimana caranya? Itung kotak yg full, itung kotak yg ga full, luasnya adalah jumlah dari kotak yg full ditambah setengah dari kotak yg ga full. Cara ini juga sempat dilakukan oang Yunani kuno, untuk mengestimasi luas benda-benda yg sulit dihitung dgn geometri.

Tapi luas yg kita dapatkan itu bener bener cuma estimasi, dan hasilnya pasti melenceng lumayan jauh dari luas aslinya, jadi para ilmuwan terus berusaha mencari cara untuk menghitung luas kurva secara akurat.

gambar 1.3

Lihat gambar 1.3, misalkan sekarang kita mau mencari luas daerah dibawah garis hitam melengkung itu. Kita bisa pake estimasi dengan menggambar beberapa persegi panjang yg mengcover wilayah yg ingin kita hitung, terus kita jumlah luas semua persegi panjangnya, persis kayak cara buku berpetak tadi.

Kita bisa lihat, perhitungan luas jelas lebih akurat kalo semakin banyak persegi panjang yg kita pake. Pake 5 persegi panjang(kuning) jelas perhitungan luasnya lebih ga akurat daripada kalo kita pake 11 persegi panjang(hijau). Dari sini bisa kita simpulkan kalau : pake makin banyak persegi panjang = makin akurat hasil perhitungan luasnya.

gambar 1.4

Tuh liat, makin banyak persegi panjang yg kita pake, makin mendekati benar hasil luas yg kita dapat, atau makin akurat hasilnya :)

Sekarang, gimana kalo kita pake persegi panjangnya sampe tak hingga/infinity ??? Persegi panjang sampe infinity itu sama aja kayak 1 persegi panjangnya cuma 1 garis.... nih coba liat ini :
gambar 1.5

Yg sebelah kiri itu persegi panjangnya masih keitung, yg sebelah kanan persegi panjangnya udah sampe tak terhingga makanya seolah-olah cuma kayak diarsir. Terlihat kalau persegi panjangnya sampe infinity, luas yg kita dapat itu sangat-sangat akurat!!!

Misalkan jumlah persegi panjang yg kita gunakan kita sebut sebagai n, maka supaya akurat, n harus limit mendekati tak hingga :)

Sekarang yuk kita coba hitung!

gambar 1.6

*penjelasan gambar 1.6, 1.7 dan 1.8

Misalkan kita ingin menghitung luas daerah dibawah kurva grafik diatas, anggap kurva memiliki fungsi f(x)
 
1. Untuk menghitung luas kurva, kita perlu menghitung luas persegi panjang satu persatu, dan menjumlahkannya, dengan syarat jumlah persegi panjangnya mendekati tak hingga. Anggaplah gambar nomor 1 adalah persegi panjang yg pertama, ukurannya sangatlah kecil namun diperbesar. Lebar persegi panjang tersebut adalah x/n. Kenapa? Karena total lebar semua persegi panjang adalah x(panjang kurva dari (0,0) sampai (x,0), dan total persegi ada n persegi panjang. Artinya lebar 1 persegi panjang adalah x/n karena lebar semua persegi panjang sama.
Tinggi persegi panjang tersebut adalah memasukan nilai x/n kedalam fungsi, jadi tingginya adalah f(x/n). Ingat! Untuk mendapatkan nilai di sumbu Y(tinggi persegi panjang) kita tinggal memasukan nilai x kedalam fungsinya atau kedalam f(x) -> kalau masih kurang paham baca artikel tentang diferensial dulu, atau pelajari lagi pelajaran fungsi di SMP kelas 8
Dengan begitu luas persegi panjang pertama adalah p.l atau f(x/n) . x/n

2. Menghitung luas persegi panjang kedua. Lebar persegi panjang kedua adalah tetap x/n. Namun tingginya berbeda. Untuk mencari tinggi persegi panjang kedua ini, kita memasukan nilai 2x/n kedalam fungsi f(x). Kenapa? lihat gambar disebelahnya, grafik garis lurus tersebut memiliki fungsi f(x) = 2x.
Memang lebar tiap-tiap titik tetap 1, tetapi tinggi di titik pertama adalah 2, di titik berikutnya adalah 4. Karena di titik pertama kita masukan 1 kedalam fungsi, f(1) = 2(1) = 2
Sedangkan di titik kedua, kita masukan 2 kedalam fungsi(bukan 1! Memang jarak/lebarnya adalah 1, tetapi titik kedua adalah x = 2 bukan x = 1), f(2) = 2(2) = 4
Dengan begitu. luas persegi kedua adalah p.l atau f(2x/n) . x/n

gambar 1.7

3. Dari sini terlihat pola kalau lebar persegi panjang ketiga pasti juga x/n, dan tingginya adalah f(3x/n). Maka luasnya adalah f(3x/n) . x/n

4. Begitu seterusnya sampai persegi panjang yg terakhir atau persegi panjang yg ke n. lebar persegi panjang terakhir juga x/n namun tingginya adalah f(nx/n) - > kotak ke n, atau bisa ditulis tingginya adalah f(x), karena titik terakhir memang adalah x

5. Kita jumlahkan semua luas persegi panjang dari yg pertama sampai yg terakhir, dengan jumlah total persegi panjang mendekati tak hingga

6.Yak tahap nomor lima itulah integral!! Untuk menyederhanakan penulisan, kita mengatakan integral sebagai maksud "menjumlahkan seluruh total bentuk sampai tak hingga". Persamaan nomor 5 dapat dituliskan sebagai berikut(lihat gambar tahap 6). Yang cara bacanya adalah : integral dari fungsi x(f(x)) terhadap x yg sangat kecil(dx = bagian x yg sangat kecil, x yg sangat kecil adalah x/n, karena x harus dibagi bagi sebanyak n, dan n mendekati tak hingga, makanya x/n itu bagian sangaaaaat kecilnya dari x) dari titik 0 sampai titik x.
Atau supaya lebih gampang, luas 1 persegi panjang kan f(x) . x/n, nah x/n bisa ditulis dx, berarti luas 1 persegi panjang = f(x) . dx
Kita harus menjumlahkan semua luas persegi panjang yg jumlahnya sampe mendekati tak hingga buat dapet luas kurva, jadi kita harus jumlahkan sampe tak hingga dari f(x) . dx, ingat istilah menjumlahkan sampe tak hingga itu = integral. Jadi bisa juga kita sebut "integral dari f(x) . dx"
Nah tanda x di atas simbol integral dan 0 di ekor simbol integral itu cuma ngasih tanda kalo kita ngejumlahinnya start dari titik x = 0 sampe titik x = x

gambar 1.8

7. Bisa kita simpulkan, rumus umum dari integral adalah : (lihat gambar pada tahap no 7)

8. Bimbel juga ngajarin integral dgn cara cepet kayak diferensial, ini akhirnya bikin rata2 anak bimbel bingung apa itu sebenernya integral. Rumus cepet bimbel buat integral : (lihat gambar tahap no 8)

Nah itulah integral :)



Sekarang pembuktiannya ya :)

Supaya bisa dibuktikan pake 3 cara(cara geometri, cara bimbel, dan cara rumus umum integral) kita pake fungsi yg mudah aja : y = 1/2 x atau f(x) = 1/2 x
Lihat gambar dibawah supaya mudah(gambar 1.9)
gambar 1.9


Sekarang yuk kita hitung luas segitiga tersebut dengan 3 cara tadi :

1. Cara geometri : luas segitiga = 1/2 . alas . tinggi = 1/2 . 2 . 1 = 1/2 . 2 = 1

2. Cara bimbel  : bisa dilihat pada gambar 2.1

3. Cara rumus umum integral : bisa dilihat pada gambar 2.1

gambar 2.1

Hasil luasnya sama semua kan? :) Jadi terbukti kalau integral itu = mencari luas :)

Untuk bentuk2 seperti kurva yg aneh-aneh gabisa kalian itung pake cara geometri ya, gua sengaja ambil bentuk segitiga buat contoh jadi kita bisa pake cara geometri juga(buat pembanding), tapi kalo bentuknya kurva kita cuma bisa pake cara integral buat dapetin luasnya yg akurat.


Integral dan diferensial saling berkebalikan. Bisa dibilang integral adalah fungsi invers dari diferensial, dan diferensial adalah fungsi invers dari integral. Yg artinya, apabila sebuah fungsi f(x) diintegralkan terhadap x, maka hasilnya kalo didiferensialkan terhadap x harus balik lagi jadi f(x). Sebaliknya juga gitu, fungsi f(x) kalo didiferensialkan terhadap x, hasilnya diintegralkan terhadap x, harus balik jadi f(x).

Cara penulisan integral bisa dilihat pada gambar 2.2 dibawah ini :

gambar 2.2

Aplikasinya di fisika :
Inget bahasan GLBB? Coba baca/inget-inget lagi asal muasal rumus s = Vo.t + 1/2.a.t^2
Rumus itu asalnya adalah dari menghitung luas grafik kecepatan(V) terhadap waktu(t). Wah luas grafik!! Kita kan bisa menghitung luas grafik dgn integral!! Berarti kalo kita mencari luas grafik kecepatan(v) terhadap waktu(t) kita dapet perpindahan(s) !!! Mencari luas = integral, jadi mengintegralkan kecepatan(v) terhadap waktu(t) kita dapatkan perpindahan (s)~
Begitu juga dgn grafik percepatan(a) terhadap waktu(t), luas grafik tersebut akan menghasilkan kecepatan(v). Yg artinya integral dari percepatan(a) terhadap waktu(t) adalah kecepatan(v).
Bisa disimpulkan :
1. percepatan(a) diintegralkan terhadap waktu(t) didapat kecepatan(v)
2. kecepatan(v) diintegralkan terhadap waktu(t) didapat perpindahan/posisi(s atau r)

Untuk lebih jelasnya lihat gambar 2.3 dibawah :

gambar 2.3

Buat yang udah baca dan paham isi artikel ini, tolong ilmunya bagi ke temen2 yg lain ya :)
#fisikasukber37

Turunan/Diferensial/Derrivative

Diferensial

Note : Sebelum baca ini kalo bisa udah paham Kalkulus - Naikan/Integrasi/Integral. Atau dibalik juga gapapa, abis baca ini terus udah ngerti, kalo bisa langsung baca artikel tadi karena mereka sepasang, sehidup semati.


Kalo udah denger kata "turunan" atau "integral" biasanya anak smansa langsung mules wkwk, "ah males amat soalnya banyak cacing-_-"
Sebenernya turunan ataupun integral itu gampang bangeeeeet, serius dah, malah sebenernya mereka berdua itu cuma limit fungsi :) yuk kita bahas apa itu sebetulnya turunan.

Siapa penemu kalkulus? Kalkulus ditemukan oleh dua orang di tempat yang berbeda, dan selisih waktunya relatif singkat. Mereka adalah Newton dan Leibniz. Ditemukan duluan sama Newton, baru abis itu si Leibniz. Tapi para ilmuwan akhirnya sepakat kalo mereka ga saling mencontek, soalnya Newton nemuin diferensial dulu abis itu inregral, sedangkan Leibniz nemuin integral dulu abis itu diferensial.

Sir Isaac Newton

Sesuai namanya, "diferensial" dari kata diference atau "perbedaan", jadi ya turunan itu sebenernya buat mencari perbedaan/perubahan dari sesuatu.
Pertama, mari flashback ke jaman SMP, kelas 8 dulu, waktu kita belajar persamaan garis lurus. Dalam sebuah garis lurus di koordinat kartesius, kita bisa mencari derajat kemiringan dari garis tersebut, atau biasa kita kenal dengan istilah "gradien" dari garis tsb.

grafik 1.1

Grafik diatas > f(x) = 1/2x

Liat deh grafik garis lurusnya, inget kan cara nyari gradien gimana? Tinggal Δy/Δx aja! 

 


m = gradien

Karena grafik diatas garis lurus, artinya di titik manapun, gradiennya pasti sama. Misal ambil titik (0,0) sama titik (4,2), maka gradiennya 2-0/4-0 = 2/4 = 1/2. 

Coba kita ambil titik lain, misal (4,2) sama (-4,-2) gradiennya -2-2/-4-4 = -4/-8 = 1/2. 

Ambil lagi misal titik x=1, berarti Ynya tinggla masukin aja 1 ke fungsi, f(1) = 1/2.1 = 1/2, berarti titiknya (1,1/2) dan buat titik satu lagi, kita ambil x=2, masukin 2 ke fungsi, f(2) = 1/2.2 = 1, dapet nilai Ynya 1, titiknya berarti (2,1), gradiennya 1-1/2 / 2-1 = 1/2 / 1 = 1/2, sama kan gradiennya :) 

jadi bisa kita simpulkan, derajat kemiringan(gradien) dari garis diatas adalah 1/2, dan gradien ini ga akan pernah berubah karena grafik fungsi diatas adalah garis lurus.

Sekarang gimana kalo grafiknya membentuk lengkungan? Misalnya grafik parabola?

grafik 1.2

atau ini?













 grafik 1.3



Buat nyari gradien sebuah grafik fungsi, kita butuh minimal 2 titik, seperti contoh pertama tadi. Nah masalahnya, kalo grafiknya garis lurus kek yg pertama, gradiennya bakal sama terus, tapi kalo grafiknya lengkung gitu, gradiennya pasti berubah2 terus, tergantung dimana kita ambil 2 titiknya.

grafik 1.4

Misalnya contoh grafik diatas. Garis biru itu ceritanya garis grafiknya, garis ijo ceritanya cuma garis bantu(kita sebut garis secant). Buat nyari gradien garis biru itu kita bisa ambil 2 titik dari 2 titik potong antara garis biru sama garis secant, terus dari dua titik potong itu kita cari gradiennya dgn cara kayak tadi, Δy/Δx, atau (f(x+h) - f(x))/((x+h)-(x)) = (f(x+h) - f(x))/h
Tapi gradien ini ga akurat, kenapa? Karena kalo kita ambil 2 titik lain, misalnya kita geser garis secant tadi ke kiri, otomatis nilai Δy/Δx nya berubah, karena garisnya lengkung, ga lurus. Jadi yg bisa kita itung cuma gradien rata-rata, bukan gradien sesungguhnya yang tepat di titik itu.

Oke, sekarang gimana biar kita bisa nyari gradiennya seakurat mungkin? Bisa kita liat kalo jarak antar 2 titik yg kita ambil makin deket, maka gradien yg kita dapet juga makin akurat. Kita tarik teruuuusss 2 titik tadi biar makin deket, sampe 2 titik itu berhimpitan kek gini nih :
grafik 1.5
Liat? Titiknya jadi cuma 1 kan? sebenernya titiknya tetep ada 2, tapi jaraknya dekeeeeetttt bgt sampe limit mendekati 0, jadi gradien yg kita dapet bakal akurat. 

Kita misalkan jarak antar 2 titik itu h, berarti nilai h ini harus limit mendekati 0. Terus misalkan kita ambil 1 titik (x,0) (lihat gambar grafik 1.4), terus buat titik kedua, kita ambil sebuah titik yg berjarak h dari titik x tadi, dimana inget h nya harus limit mendekati 0 supaya gradiennya akurat, berarti koordinat titik kedua ini (x+h,0). Buat sumbu Y nya, tinggal masukin nilai sumbu x ke fungsinya, kayak contoh pertama tadi, berarti nilai Y waktu x nya x > f(x), koordinat titik pertama (x , f(x)), terus nilai Y pas titik x = x+h > f(x+h), koordinat titik kedua (x+h , f(x+h)). Buat nyari gradiennya, Δy/Δx, jadi :
f(x+h) - f(x)          f(x+h) - f(x)
------------ =      ------------
(x+h) - (x)                   h

dan ingat! nilai h harus limit mendekati 0 supaya gradien akurat :)
jadi bisa kita tulis : 
1.7 rumus umum diferensial
f ' (x) > gradien dari fungsi x seakurat mungkin (turunan fungsi x)

Ya! Itu dia turunan wkwk, jadi sebenernya turunan itu ya sama aja kayak nyari gradien dari grafik fungsi kayak pas kls 8 SMP, bedanya turunan itu mencari gradien seakurat dan setepat mungkin. Kalo kurvanya garis lurus mau gradien di titik manapun pasti sama jadi selalu akurat, tapi kalo grafiknya lengkung/parabola gitu, kalo kita itung gradien pake cara biasa bakal dapet gradien rata-rata dan ga akurat, cuma perkiraan. Jadi kita pake turunan supaya dapet gradien yg tetep akurat sekalipun grafiknya lengkung :)


Kalo cara bimbel kan gini ya :
misalkan f(x) =  AX^B
d(f(x))/dx (maksudnya, f(x) diturunkan terhadap x ) = BAX^B-1


Contoh : f(x) = 2x^2
maka d(f(x))/dx = d(2x^2)/dx = 2 . 2 . x ^2-1 = 4x^1 = 4x

Yuk kita coba pake rumus umum! ( / disini artinya "per" atau "bagi" ya)

f ' (x) dengan lim h-> 0 = f(x+h) - f(x) / h
                                   = 2(x+h)^2 - 2x^2 / h
                                   = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 2x^2 / h
                                   = 4xh + 2h^2 / h
                                   = (4x + 2h)h / h  --> h nya coret
                                   = 4x + 2h  --> ingat pelajaran mtk pa Wirdan kelas x! Untuk menyelesaikan persamaan limit, kalo persamaannya udah paling sederhana, masukin aja nilai limitnya kedalem persamaan itu, disini limitnya adalah limit h mendekati 0, jadi masukin nilai 0 ke h :
                                   = 4x + 2(0) = 4x

Tuh sama kan sama rumus cepet bimbel :)

Integral dan diferensial saling berkebalikan. Bisa dibilang integral adalah fungsi invers dari diferensial, dan diferensial adalah fungsi invers dari integral. Yg artinya, apabila sebuah fungsi f(x) diintegralkan terhadap x, maka hasilnya kalo didiferensialkan terhadap x harus balik lagi jadi f(x). Sebaliknya juga gitu, fungsi f(x) kalo didiferensialkan terhadap x, hasilnya diintegralkan terhadap x, harus balik jadi f(x).

Penulisan dan arti simbol dalam diferensial :
dA = sepotong bagian dari A yg sangat kecil
f ' (x) = turunan dari fungsi f(x) terhadap x
dA/dB = turunan dari A terhadap B, atau A yg sangat kecil dibagi B yg sangat kecil

Misalkan : turunkan fungsi f(x) = 3x^3 terhadap x!

Jawab :
d(f(x))/dx = d(3x^3)/dx = 3.3x^3-1 = 9x^2

Pasti ada yg nanya, "terus Do kenapa persamaan jarak/posisi kalo diturunin terhadap t dapet persamaan kecepatan? Kenapa juga kalo persamaan kecepatan diturunin terhadap t dapet persamaan percepatan? Itu karena, inget definisi turunan itu ya gradien, atau "derajat/tingkat perubahan"
Nah, derajat perubahan jarak terhadap waktu itu apa? Jarak/waktu itu apa? Kecepatan kan? wkwk
Sekarang kalo derajat perubahan kecepatan terhadap waktu itu apa? Kecepatan/waktu? Percepatan kan?

Semoga membantu, kalo kurang jelas, mau tanya, atau mau revisi, jgn sungkan untuk komen :

Buat yang udah baca dan paham isi artikel ini, tolong ilmunya bagi ke temen2 yg lain ya :)
#fisikasukber37